On travaille en cryptographie « classique blockchain » sur des structures algébriques où l'opération est fermée, associative, admet un neutre et des inverses. Un groupe est l'objet minimal ; dans la plupart des protocoles de signature, on vise un groupe abélien (commutatif). Un corps fini (avec premier) est muni de \(+\) et \(\times\) modulo \(p\). Toute division par \(a\) est tel que \(a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{p}\).
Prenons un exempele simple : Si il est 22h et que j'ajoute 4 heures, quelle heure est-il ? Réponse : 2h. Pas 26h. Vous venez de faire 22 + 4 = 2 dans un espace modulo 12. Les nombres ne dépassent pas 12, ils repartent de 0. En cryptographie, on fait la même chose, mais avec des nombres premiers gigantesques à la place de 12.
La sécurité ECC se formule dans des groupes (souvent abéliens) définis sur des corps finis \(\mathbb{F}_p\).